Công thức cấp số nhân
Contents
Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số mà trong đó, tỉ số giữa mỗi số hạng và số hạng liền trước nó luôn không đổi, gọi là công bội. Dãy số này có thể được viết dưới dạng:
a₁, a₂, a₃, a₄, …
Trong đó, mỗi số hạng thứ nnn của dãy số được tính theo công thức:
aₙ = a₁ ⋅ r^(n−1)
- a₁ là số hạng đầu tiên.
- r là công bội, là tỉ số giữa mỗi hai số hạng liên tiếp trong dãy số.
- n là chỉ số của số hạng cần tính (vị trí của số hạng trong dãy số).
Ví dụ về dãy cấp số nhân:
- Dãy số 2,4,8,16,32,… là một cấp số nhân với công bội r=2(mỗi số hạng sau được nhân với 2 để ra số hạng tiếp theo).
- Dãy số 5,10,20,40,80,… là một cấp số nhân với công bội r=2.
- Dãy số 100,50,25,12.5,… là một cấp số nhân với công bội r=0.5.
Định nghĩa cấp số nhân
Đặc điểm của cấp số nhân:
Công bội cố định: Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn là một hằng số.
Sự tăng trưởng hoặc giảm sút theo cấp số nhân: Nếu công bội r>1, dãy số tăng trưởng theo cấp số nhân. Nếu 0<r<1, dãy số giảm sút theo cấp số nhân.
Cấp số nhân thường xuất hiện trong các bài toán về tăng trưởng (lãi suất, dân số, v.v.) hoặc giảm sút (sự phân hủy, giảm tốc độ, v.v.).
Tính chất của cấp số nhân
Cấp số nhân có một số tính chất quan trọng sau:
Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là không đổi
- Một trong những tính chất cơ bản của cấp số nhân là công bội r giữa mỗi hai số hạng liên tiếp trong dãy là hằng số.
- Tức là, đối với bất kỳ hai số hạng liên tiếp aₙ và aₙ₊₁ ta có:
r = aₙ / aₙ₊₁
- Công bội này giúp xác định mối quan hệ giữa các số hạng trong dãy cấp số nhân.
Tính tổng của n số hạng đầu tiên
Công thức tính số hạng chung
- Công thức tính số hạng thứ nnn trong một cấp số nhân có dạng:
aₙ = a₁ ⋅ rⁿ⁻¹ Trong đó:
- a₁ là số hạng đầu tiên.
- r là công bội.
- n là chỉ số của số hạng cần tính.
Tính tổng của n số hạng đầu tiên
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (với công bội r≠1) được tính bằng công thức:
Sₙ = a₁ * (1 – rⁿ) / (1 – r)- a₁ là số hạng đầu tiên.
- r là công bội.
- n là số lượng số hạng cần tính tổng.
- Nếu r=1r = 1r=1, tổng của n số hạng đầu tiên là:
Sₙ=n⋅a₁
(tất cả các số hạng trong trường hợp này đều giống nhau).
Dãy số tăng hoặc giảm theo công bội
- Khi r>1: Dãy cấp số nhân sẽ tăng theo cấp số nhân.
- Khi 0<r<1: Dãy cấp số nhân sẽ giảm theo cấp số nhân.
- Khi r=1: Dãy số sẽ có các số hạng bằng nhau, không thay đổi.
Cấp số nhân vô hạn
- Một cấp số nhân có thể có vô hạn số hạng, và nếu công bội ∣r∣<1, tổng của dãy số này sẽ hội tụ và có giá trị xác định. Công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn (với ∣r∣<1) là: S∞=a₁ *1−r Trong đó:
- a₁ là số hạng đầu tiên.
- r là công bội.
Dãy số có số hạng âm
- Cấp số nhân có thể có các số hạng âm nếu công bội rrr là một số âm. Khi đó, các số hạng sẽ xen kẽ giữa các số dương và số âm tùy thuộc vào giá trị của r.
Dãy số có công bội bằng 1
- Nếu công bội r=1, dãy cấp số nhân trở thành một dãy số không thay đổi, tất cả các số hạng đều bằng nhau và dãy này không có sự thay đổi theo thời gian.
Những tính chất này giúp bạn hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân, từ việc tính số hạng cụ thể đến tính tổng dãy số.
Tổng hợp Công thức tính cấp số nhân
Công thức cấp số nhân tổng hợp
Dưới đây là các công thức cấp số nhân tổng hợp mà bạn có thể tham khảo:
Công thức tính số hạng chung (số hạng thứ n):
aₙ = a₁ * rⁿ⁻¹
- aₙ: Số hạng thứ nnn.
- a₁: Số hạng đầu tiên.
- r: Công bội (tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp).
- n: Vị trí của số hạng cần tính.
Công thức tính tổng nnn số hạng đầu tiên (với r≠1):
Sₙ = a₁ * (1 – rⁿ) / (1 – r)
- Sₙ : Tổng của nnn số hạng đầu tiên.
- a₁: Số hạng đầu tiên.
- r: Công bội.
- n: Số lượng số hạng.
Công thức tính tổng vô hạn (với ∣r∣<1):
Khi ∣r∣<1, tổng vô hạn của cấp số nhân được tính bằng:
S = a₁ / (1 – r)
- S: Tổng vô hạn.
- a₁: Số hạng đầu tiên.
- r: Công bội.
Công thức tính tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp:
aₙ / aₙ₊₁ = r
- aₙ: Số hạng thứ nnn.
- aₙ₊₁: Số hạng thứ n+1.
- r: Công bội.
Công thức số hạng trung bình (giữa hai số hạng bất kỳ):
Nếu aₚ, aq, aᵣ là ba số hạng bất kỳ trong một cấp số nhân, thì số hạng aq là trung bình nhân của aₚ và aᵣ :
aq = aₚ ⋅ aᵣ
Công thức tính tổng khi r=1:
Nếu r=1, tất cả các số hạng đều bằng a₁, và tổng Sₙ của n số hạng đầu tiên là:
Sₙ = n.a₁
- Sₙ: Tổng của n số hạng đầu tiên.
- a₁: Số hạng đầu tiên.
- n: Số lượng số hạng.
Ví dụ ứng dụng:
Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân 2,6,18,54,,…:
- a₁=2, r=3, n=5.
- Áp dụng công thức:
a₅ = 2 ⋅ 3ⁿ⁻¹ = 2 ⋅ 3⁴ = 162
Tính tổng 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân 2,6,18,54,…:
- a₁=2, r=3, n=4.
- Áp dụng công thức:
S₄ = 2 ⋅ (1 – 3⁴) / (1 – 3) = 80
Những công thức này giúp bạn tính toán các đặc tính cơ bản của cấp số nhân, bao gồm các số hạng, tổng các số hạng và tổng vô hạn.
Công thức số hạng trung bình (giữa hai số hạng bất kỳ):
Ứng dụng của Công thức cấp số nhân trong thực tiễn
Công thức cấp số nhân có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tiễn, đặc biệt trong các lĩnh vực như tài chính, khoa học và kỹ thuật. Dưới đây là một số ứng dụng nổi bật:
Tính lãi suất kép trong tài chính: Cấp số nhân được sử dụng để tính lãi suất kép trong ngân hàng và đầu tư. Mỗi kỳ, số tiền lãi được tính trên số dư vốn cộng dồn từ kỳ trước, tạo ra một dãy số tăng theo cấp số nhân. Công thức tính lãi kép là một ví dụ điển hình về cấp số nhân.
Ví dụ: Nếu bạn đầu tư một số tiền P với lãi suất r hàng năm, sau nnn năm, số tiền bạn có sẽ là P ⋅ (1 + r)ⁿ.
Sự phát triển dân số: Trong sinh học, cấp số nhân mô tả sự phát triển dân số khi dân số sinh sản và tăng trưởng theo một tỷ lệ không đổi. Mỗi thế hệ mới có thể tăng gấp đôi hoặc theo một tỷ lệ cố định so với thế hệ trước.
Sự phân rã hạt nhân: Trong vật lý, cấp số nhân được áp dụng để mô tả sự phân rã của các nguyên tử hạt nhân theo thời gian, khi số lượng nguyên tử phân rã giảm dần theo tỷ lệ cố định.
Các ứng dụng này cho thấy công thức của cấp số nhân không chỉ là công cụ lý thuyết trong toán học mà còn là một phần thiết yếu trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Nếu bạn đang có nhu cầu tìm kiếm nhà cung cấp đồ khách sạn uy tín và chất lượng, hãy liên hệ ngay với chúng tôi để nhận được tư vấn miễn phí và báo giá chi tiết. Chúng tôi luôn sẵn sàng đồng hành cùng sự phát triển và thành công của khách sạn bạn!
Thiết bị khách sạn Vietsupply
Địa chỉ: A22-BT6 Khu đô thị Mỹ Đình 2, Quận Nam Từ Liêm TP Hà Nội Xem bản đồ
Hotline: 0778252252
Email: supplyviet@gmail.com