Cấp số nhân là kiến thức các em được tiếp xúc ở chương trình thpt. Vậy công thức cấp số nhân cụ thể ra sao, các bài tập áp dụng, ý nghĩa của cấp số nhân trong thực tế?.. Bài viết dưới đây sẽ giải đáp chi tiết cho các em về vấn đề này.
Contents
Khái niệm về cấp số nhân
Cấp số nhân là dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thỏa mãn điều kiện: kể từ số hạng thứ 2 , mỗi số đứng sau là tích của số hạng đứng ngay trước nó với 1 số cố định gọi là hằng số. Hằng số này còn gọi là công bội của cấp số nhân và được ký hiệu là q.
Công thức về cấp số nhân
Công thức về cấp số nhân: Un+1 = Un . q (với n ∈ N*)
Trong đó:
Un: cấp số nhân, q là công bội, n ∈ N*
Ví dụ: Cho dãy số 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729… đây là cấp số nhân có phần tử đầu tiên là U1 = 1 và công bội q = 3
Tính chất đặc trưng của cấp số nhân
Cấp số nhân có một số tính chất cơ bản như sau:
Tính chất 1: Nếu Un là 1 cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng của cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng sau và đứng trước liền kề.
Công thức: (Uk)² = Uk-1 . Uk+1
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un) có U3 = 4, U5 = 16. Tìm U4 của cấp số nhân đã cho?
Đáp án:
Ta có (Uk)² = Uk-1 . Uk+1
=> U4² = U3 . U5
=> U4² = 4 . 16
=> U4 = 8
Vậy cấp số nhân có U4 = 8
Tính chất 2: Công bội đặc biệt
Nếu q = 0 thì cấp số nhân sẽ có dạng: U1, 0, 0, 0, 0, 0…
Nếu q = 1 thì cấp số nhân có dạng: U1, U1, U1, U1, U1…
Nếu q < 0 thì cấp số nhân là dãy số không giảm và không tăng
Nếu q < 1 và q > 0 thì cấp số nhân (Un) sẽ là dãy số giảm
Nếu q > 1 thì cấp số nhân (Un) là dãy số tăng
Nếu U1 = 0 thì cấp số nhân có dạng: 0, 0 ,0 ,0 ,0, 0…
Các Công thức cấp số nhân lớp 11
Công thức truy hồi
Cho Un là cấp số nhân thì công thức truy hồi có dạng: Un = Un-1 . q (n ∈ N*)
Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) biết U3 = 9, q = 3. Tìm công thức truy hồi U5 của cấp số nhân?
Đáp án:
Theo đề bài ta có U3 = 9, q = 3
=> U4 = U2 . 3
=> U4 = 9 . 3
=> U4 = 27
Công thức truy hồi cấp số nhân (Un) có dạng: Un = Un-1 . q
=> U5 = U4 . 3
=> U5 = 27 . 3
=> U5 = 81
Công thức cấp số nhân tổng quát
Nếu Un là cấp số nhân với số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính bằng công thức sau đây:
Công thức tổng quát cấp số nhân (Un) = U1 . qⁿ⁻¹
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un), biết U1 = 6, q = 3. Tính số hạng tổng quát U10?
Lời giải:
Ta có: Un = U1 . qⁿ⁻¹
Số hạng tổng quát U10 của cấp số nhân trên là U10 = 6 . 3¹⁰⁻¹
=> U10 = 118098
Vậy Số hạng tổng quát U10 của cấp số nhân (Un) trên là 118098
Công thức tính công bội q trong cấp số nhân
Công bội q của cấp số nhân (Un) sẽ được tính bằng công thức sau: q = (Un+1)/Un
Ví dụ:
Cho cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 50. Tính công bội q?
Lời giải
Ta có q = (Un+1)/Un
=> q = U2/U1
=> q = 50/5
=> q = 10
Vậy Công bội của cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 50 là q = 10
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cho cấp số nhân (Un) với công bội q ≠ 1, ta có công thức tính tổng n số hạng đầu tiên là:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un
Tổng cấp số nhân
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (Un) có U1 = 2, q = 3. Tính S5?
Đáp án:
Áp dụng công thức tính n số hạng đầu tiên ta có:
S5 = U1( 1- q⁵)/ (1 – q)
=> S5 = 2. (1 – 3⁵)/ (1 – 3)
=> S5 = 2 . (-242)/ (-2)
=> S5 = 484
Tổng của 5 số hạng đầu tiên là S5 = 484
Công thức tổng quát tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn Un với công bội q (1 < q < 1) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S này có dạng:
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un + …
=> Sn = limSn
=> Sn = lim (U1 . (1 – qₙ)/ (1 – q)
<=> Sn = U1/ (1-q)
Ví dụ:
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Un có Un = 1/3ⁿ
Lời giải
Theo đề bài ta có Un = 1/3ⁿ
=> U1 = ⅓ => U2 = 1/9
=> Công bội q = U2/ U1 = 1/3
Áp dụng công thức tổng quát: S = U1/ (1-q)
=> S = 1/3 : (1- ⅓)
=> S = ½
Vậy Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có Un = 1/3ⁿlà S = ½ .
Ứng dụng của cấp số nhân trong thực tiễn
Công thức về cấp số nhân có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác nhau. Một số ứng dụng phổ biến của cấp số nhân bao gồm:
Tính toán lãi suất kép (Vật lý tài chính)
Cấp số nhân có ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực tài chính, đặc biệt là khi tính toán lãi suất kép. Khi một khoản tiền gửi hoặc một khoản đầu tư sinh lời theo lãi suất cố định, giá trị của khoản tiền đó theo thời gian sẽ tuân theo một dãy số cấp số nhân.
Ví dụ, nếu bạn đầu tư một số tiền ban đầu với lãi suất hàng năm là , thì số tiền sau năm sẽ là:
Pₙ = P⋅(1+r)ⁿ
Đây là một dạng cấp số nhân, với công bội 1+.
Mô hình tăng trưởng dân số
Cấp số nhân cũng được sử dụng để mô phỏng sự tăng trưởng dân số trong các điều kiện lý tưởng, tức là khi dân số tăng với tỷ lệ cố định qua từng thời kỳ.
Giả sử dân số ban đầu là 0 , và mỗi năm dân số tăng một tỷ lệ r, dân số sau năm sẽ là:
Pₙ=P₀⋅(1+r)ⁿ
Đây là một mô hình cấp số nhân để tính toán sự thay đổi của dân số theo thời gian.
Tính toán trong công nghệ và viễn thông
Cấp số nhân có thể được áp dụng để mô phỏng sự phát triển của công nghệ hoặc sự lan truyền thông tin trong các hệ thống viễn thông. Ví dụ, tốc độ truyền tải dữ liệu hoặc số lượng người sử dụng một công nghệ có thể tăng theo tỷ lệ cấp số nhân nếu sự phát triển diễn ra nhanh chóng.
Ứng dụng trong sinh học và y học
Trong y học, cấp số nhân có thể được sử dụng để mô tả sự phát triển của các tế bào, vi khuẩn hoặc virus trong môi trường thuận lợi. Quá trình phân chia tế bào hoặc sự sinh sản của vi khuẩn thường theo mô hình cấp số nhân, đặc biệt trong giai đoạn ban đầu của sự phát triển.
Lý thuyết mạng và các thuật toán tìm kiếm
Trong lý thuyết đồ thị và các thuật toán tìm kiếm, cấp số nhân được sử dụng để phân tích độ phức tạp của các thuật toán. Ví dụ, một số thuật toán tìm kiếm trong các đồ thị hoặc mạng có thể có độ phức tạp theo cấp số nhân đối với số lượng dữ liệu hoặc đỉnh.
Quản lý kho và chuỗi cung ứng
Cấp số nhân có thể mô phỏng sự gia tăng của nhu cầu sản phẩm hoặc tài nguyên trong các mô hình quản lý kho, chuỗi cung ứng. Trong những tình huống này, sự thay đổi trong nhu cầu của khách hàng hoặc yêu cầu về hàng hóa có thể diễn ra theo cấp số nhân trong những đợt tiêu thụ mạnh.
Vật lý và kỹ thuật
Trong vật lý, đặc biệt là trong các quá trình phóng xạ hay phân rã, số lượng hạt còn lại theo thời gian thường giảm theo một công thức về cấp số nhân. Cũng tương tự, trong các ứng dụng kỹ thuật, các hiện tượng như sự mài mòn của vật liệu hoặc sự thay đổi về độ bền có thể được mô hình hóa bằng cấp số nhân.
Tóm lại, công thức cấp số nhân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ tài chính, sinh học, công nghệ, cho đến các mô hình tăng trưởng và sự phát triển trong tự nhiên và xã hội.