Cấp số nhân là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học lớp 11. Vậy công thức của cấp số nhân là gì và cách áp dụng như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết qua bài viết bên dưới đây.
Contents
Lý thuyết về Cấp số nhân
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó mỗi số hạng từ số hạng thứ hai trở đi được xác định bằng tích của số hạng trước đó với một số không đổi
Q được gọi là công bội của cấp số nhân. Khi () là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi sau:
un = un-1 . q với n ∈ N*
Một số trường hợp đặc biệt như sau:
– Với q = 0, cấp số nhân có dạng như sau: u1; 0; 0; … 0; …
– Với q = 1, cấp số nhân có dạng như sau: u1; u1; … u1;…(tất cả cấp số nhân có dạng u1)
– Với u1 = 0, cấp số nhân có dạng như sau: 0; 0; 0; … 0; … bất kể giá trị nào của q
Số hạng tổng quát của một cấp số nhân (un)
Số hạng tổng quát của CSN xác định dựa trên công thức cụ thể sau:
un = u1 . qn – 1 với ∀n ∈ N* và n ≥ 2
Tính chất
Ba số hạng uk – 1, uk, uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi thỏa mãn: uk² = uk-1.uk+1 với k ≥ 2
Tổng n số hạng đầu tiên của CSN
Tổng n số hạng đầu tiên của CSN tính theo công thức như sau:
S= u1+u2+…+un= u1(1-q^n)/(1-q)
Lưu ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân có dạng: u1; u1; u1; … u1;.. Và tổng n số hạng Sn = n.u1.
Công thức về cấp số nhân
Công thức truy hồi:
un = un-1 . q với n ∈ N*
Công thức số hạng tổng quát có dạng
un = u1 . qn – 1 với ∀n ∈ N và n ≥ 2
Tích chất đặc biệt của 3 số hạng liên tiếp trong một cấp số nhân:
uk² = uk-1.uk+1 với k ≥ 2
Tổng n số hạng đầu tiên:
S=u1(1-q^n)/(1-q)
Tổng n số hạng đầu tiên của csn
Ví dụ minh họa về cấp nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) như sau: u1 = 3, q = 2.
a) Tìm số hạng thứ 24 của cấp số nhân đã cho
b) Số 786432 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
c) Tính tổng S99 số hạng đầu tiên của cấp số nhân?
Lời giải
a) Số hạng thứ 25 của cấp số cộng có dạng: u24 = u1 . q²⁴⁻¹= 3. 2²³= 25165824
b) Gọi số hạng thứ Uk là số 786432, ta có
uk = u1.qᴷ⁻¹ = 786432
⇔ 3.2ᴷ⁻¹ = 786432
⇔ 2ᴷ⁻¹ = 262144 = 2¹⁸
⇔ k = 19
Như vậy, số 786432 là số hạng thứ 19 của cấp số nhân.
c) Tổng 99 số hạng đầu tiên:
S99= u1(1-q^n)/(1-q)= 3.(1-(-2)^99)/ 1-(-2)= 1-2^99
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:
a) Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của cấp số nhân.
b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
c) Tính tổng S = u1 + u3 + u5 +u7 +…+ u201.
Lời giải
- a) Gọi d là công sai của cấp số nhân, ta có:
Vậy u1 = 16 và q = 2.
- b) Tổng 100 số hạng đầu tiên:
c) Dãy số là (vn): u1; u3; u5; u7; … u201 là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u1 và công bội
Dãy (vn) có số hạng
Ứng dụng của công thức cấp số nhân trong cuộc sống
Công thức cấp số nhân có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống và các lĩnh vực khác nhau. Dưới đây là một số ứng dụng thực tế mà cấp số nhân được áp dụng:
Tính toán lãi suất trong tài chính
Cấp số nhân thường được sử dụng trong các phép toán liên quan đến lãi suất kép. Nếu bạn gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất hàng năm, số tiền bạn có sau một khoảng thời gian nhất định sẽ tăng theo cấp số nhân. Công thức tính số tiền lãi sau một thời gian dựa trên công thức về cấp số nhân:
A= P x (1+r)^n
Trong đó:
A là số tiền sau
n năm
P là số tiền ban đầu (số tiền gốc)
r là lãi suất hàng năm
n là số năm gửi tiền.
Diễn biến dân số
Tăng trưởng dân số có thể được mô phỏng bằng cấp số nhân, nhất là một nhóm dân cư tăng theo tỷ lệ không đổi. Công thức về cấp số nhân còn giúp tính toán số dân ở các thời điểm khác nhau, nếu giả sử rằng mỗi cá nhân trong cộng đồng sẽ sinh sản và tỷ lệ sinh con không thay đổi theo thời gian.
Sự phát triển của virus hoặc dịch bệnh
Trong trường hợp dịch bệnh, sự lây lan của virus dựa theo mô hình cấp số nhân. Nhất là trong giai đoạn đầu khi mỗi người bị nhiễm có thể truyền bệnh cho một số người khác. Điều này khiến số ca nhiễm tăng lên theo một cấp số nhân, từ đó giúp các nhà dịch tễ học dự đoán sự phát triển của dịch bệnh.
Chuyên môn hóa và năng suất trong sản xuất
Trong nhiều ngành công nghiệp, đặc biệt là công nghệ, sự phát triển nhanh chóng của các sản phẩm hoặc công nghệ có thể theo mô hình cấp số nhân. Ví dụ, sự phát triển của khả năng xử lý và lưu trữ dữ liệu trong các máy tính qua các thập kỷ đã diễn ra theo cấp số nhân, nhờ vào các cải tiến trong công nghệ bán dẫn.
Mạng lưới kết nối (Internet, mạng xã hội)
Khi một mạng lưới, chẳng hạn như mạng xã hội, phát triển, mỗi người tham gia có thể kết nối với nhiều người khác, tạo ra một sự mở rộng theo cấp số nhân. Sự lan truyền thông tin, chia sẻ, hoặc kết nối giữa các thành viên trong mạng xã hội có thể tăng trưởng theo cấp số nhân, đặc biệt khi sự kết nối trở nên dễ dàng và nhanh chóng.
Quá trình sản xuất trong công nghiệp
Ví dụ, trong ngành sản xuất, năng suất có thể tăng theo cấp số nhân khi có sự cải tiến về quy trình hoặc máy móc. Những tiến bộ trong công nghệ sản xuất có thể khiến lượng sản phẩm được sản xuất ra tăng trưởng theo một tỷ lệ không đổi.
Mô hình kinh tế
Công thức cấp số nhân có thể được áp dụng trong các mô hình kinh tế để dự đoán sự thay đổi trong giá trị của các khoản đầu tư, doanh thu hoặc chi phí trong tương lai. Các nhà phân tích tài chính sử dụng mô hình này để dự báo hiệu quả kinh tế của một dự án đầu tư hoặc xác định mức sinh lời trong các điều kiện thị trường thay đổi.
Khám phá khoa học
Trong các lĩnh vực như vật lý hay hóa học, sự tăng trưởng hoặc sự thay đổi trong các phản ứng hóa học, sự phân hủy của các chất, sự phát triển của các hiện tượng vật lý cũng có thể được mô phỏng qua mô hình cấp số nhân.
Tóm lại:
Công thức cấp số nhân giúp chúng ta hiểu và dự đoán sự tăng trưởng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, từ tài chính, dân số, công nghệ đến sức khỏe cộng đồng. Nó giúp cung cấp một công cụ mạnh mẽ để phân tích sự thay đổi và đưa ra quyết định trong các tình huống có sự phát triển nhanh chóng.